야마다 2015 박사 논문

3.3.3 근육 및 근육의 고유감각 모델

근육 모델

본 연구에서 사용하는 근육 모델은, Hill의 특성 방정식을 사용하여 모델화[193]된 He에 의한 근육 모델[181]을 베이스로 한다. 근육 모델은, 0부터 1의 연속 값인 무차원수의 운동 지령을 입력으로서 힘을 발생하는 것이 가능하다. 이 모델은, 자연 길이 0.036m의 근육을 베이스로 한 모델이기 때문에, 자연장이 다른 근육에 대해서도 사용하는 것이 가능하도록 확장해서 사용했다. 전신에 배치되어 있는 각 근육은, 자연 길아와 최대 수의 수축력을 파라미터로서 동일의 다이나믹스를 따른다.

먼저, He에 의한 근육 모델의 설명을 행한다. 각 근육이 발생하는 힘은 능동 수축력 $F_{act}$와 수동 수축력 $F_{p}$의 힘의 합에 의해 부여된다. 근육의 능동 수축력 $F_{act}$는 근육의 활성도 $a$, 길이 $l$, 속도 $v$에 의존한다. 이 모델은 이하의 식으로서 모델화된다.

• $F_{act}=F_{max}\;a\;f_{l}(l)\;f_{v}(v)\qquad (3.2)$

다음으로 활성도 $a$, 수의 수축력의 근육 길이 의존 성분 $f_{l}(l)$ 및 속도도 의존성분 $f_{v}(v)$의 다이나믹스에 대해 각각 설명한다. $F_{act}$는 근육의 등척성 최대 수축력으로, 실험 데이터에 기초하여 100N으로 되어 있다.

근육의 활동도 다이나믹스는, 등척성 근육 수축에 의한 근력을 조사한 것에 의해 모델화되어 있다. 등척성 근육 수축에 의한 근력은, 신경근 접합부에 의한 $Ca^{2+}$농도와 가교형성에 의존한다. 이 모델에 대해 활성도 다이너믹스 $a$는, 칼슘 방출과 재흡수를 반영한 로우패스 필터에 의해 칼슘 다이나믹스 $q$ (Eq. (3.3))과 토로포닌에 의한 칼슘 결합에 의한 가교 사이클을 표현한 비선형 필터 (Eq. (3.5))에 의해, 하기와 같이 모델화 되어 있다 [463, 47].

• ${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=18.8496(m-q)\qquad (3.3)$
• $u={\frac {q^{2}}{k^{2}+q^{2}}}\qquad (3.4)$
• ${\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}=b(u-a)\qquad (3.5)$
• $b=22(1-0.51a)^{2}\qquad (3.6)$

여기서, $m$은 운동 뉴런으로부터의 신호로, $m$, $q$ 둘 다 단위는 [p/s]이다. 등척성 근육 수축과 운동 뉴런의 출력과의 사이에 시그모이드의 관계성이 있는 것이 모델 연구에 의해 보여지고 있다 [185, 135]. 이 지식에 기초하여 파라미터 $k$는, 운동 뉴런의 발화율이 30[p/s]에서 안정 상태의 등척성 근육 수축의 반절의 값을 출력하는 시그모이드가 되도록 $k=30[p/s]$로 정해져 있다. 상태의존 파라미터인 $b$는, 근육의 히스테리시스와 큰 근력으로부터의 부드러운 이완을 반영한 파라미터이다. 근육 활동도 $a$는 0에서 1의 범위를 갖는 무차원 수이다.

다음으로, 근육 길이 의존 성분과 속도도 의존성분의 다이나믹스에 대해 설명한다. 이 모델은, Zajac에 의한 근육의 일반화 모델 [537]을 He 등이 확장한 것이다 [182, 183]. 근육 길이 의존성분 $f_{l}(l)$은 Otten에 의해, 최적 근육 길이 $L_{opt}$에 의해 근육 길이 l의 상대 길이에 의존하는 형태로 하기에 의해 모델화 되어 있다 [363].

• $f_{l}(l)=\mathrm {exp} {\biggl \{}-{\biggl (}{\frac {|(l/L_{opt})^{2.8286}-1|}{0.6182}}{\biggr )}^{2.3680}{\biggr \}}\qquad (3.7)$

$L_{opt}$는 Spector 등의 실험 데이터 [454]와 일치하도록, 0.05m의 값으로 설정되어 있다. 속도도 의존성분 $f_{v}(v)$는, 0부터 1.8의 값을 갖고, 다이나믹스는 수축시와 신장시에 각각 다른 쌍곡선 함수에 의해 이하와 같이 모델화 되어 있다.

• $f_{v}(v)={\begin{cases}(1+7.3125v)/(1+4.0625v),&v\geq 0{\text{: Stretching}}\\(1+v)/(1-2.25v)&v\leq 0{\text{: Contracting}}\end{cases}}\qquad (3.8)$

여기서, $v$는 최대 근육 수축 속도 $V_{max}$에 의해 정규화된 속도이고, 여기서의 $V_{max}=0.25m/s$로 되어 있다.

다음으로 근육의 수동 수축력 $F_{p}$의 다이나믹스에 대해 설명한다. 수동 힘의 다이나믹스는, 근육 길이와 그 속도에 의존하는 형태로 모델화 되어있다. 근육 길이에 의존하는 부분은, 자연 길이보다 길게 되면 지수함수로 수동 수축력은 증가하고, 어떤 길이를 넘으면 선형으로 모델화 되어있다. 근육의 속도에 의존하는 부분에 대해서는, 확률적 섭동을 사용해서 근육의 수동 수축력에 대한 점탄성의 관계성에 대해 서술한 Kirsch 들에 의한 연구 [248]에 기초해 모델화 되어 있고, 이하를 따른다.

• $F_{p}=f_{p}(l)+B_{p}(l)v\qquad (3.9)$
• $f_{p}(l)={\begin{cases}0&(l\leq 0.036)\\0.1663(\mathrm {exp} (208.2(l-0.036))-1)&(0.036<l<0.057)\\13.0076+2743(l-0.057)&(l\geq 0.057)\end{cases}}\qquad (3.10)$
• $B_{p}(l)={\begin{cases}0.34624\ \mathrm {exp} (208.2(l-0.036))&(l<0.057)\\27.4&(l\geq 0.057)\end{cases}}\qquad (3.11)$

마지막으로, 자연 길이 및 최대 수의 수축력이 서로 다른 근육에 대해서도 사용하는 경우에 대해 설명한다. 자연 길이가 서로 다른 점에 대해서는, 대상이 되는 근육의 자연 길이 및 근육 길이를 각각 $l'$,$l_{0}'$이라 하면, $l\leftarrow 0.036l'/l_{0}'$으로 치환하는 것으로 구했다. 등척성 최대 근육 수축력 $F_{max}$에 대해서는, 대상의 그것을 $F_{max}'$으로서 수동 힘과 능동 힘의 합력을 구한 뒤에 $F_{max}'/F_{max}$을 곱하는 것으로 구했다.

근육의 고유 감각기 모델

근육의 감각기로서는, 근육 길이와 근육 장력을 반영한 감각 피드백을 반환하는 근방추와 골지건 기관의 모델이 조합되어 들어있다. 이 두개에 대해서도, 정합성의 관점으로부터, 근육 모델과 같은 방식으로 He에 의한 모델을 채용했다 [181]. 이하, 각각의 모델에 대해서 설명한다.

골지건 기관의 모델은, Houk and Simon에 의한 근력에 대한 응답을 모델화한 모델 [202]에 대해, Prochazka and Gorassini가 고양이의 로코모션을 예시로서 통상 운동 상황하에서의 응답을 설명 가능한 레벨으로 확충한 모델 [389]에 기초한다. 골지건 기관의 출력 $r_{Ib}$는, 전달함수의 형태로 Band-pass 필터로서 이하의 식으로 구해진다.

• $r_{Ib}(s)=K_{\text{GTO}}{\frac {(1+s/0.15)(1+s/1.5)(1+s/16)}{(1+s/0.2)(1+s/2)(1+s/37)}}\qquad (3.12)$

이 모델에서는 골지건 기관이 $\alpha$운동 뉴런과의 결합은 직접 결합하는 것을 가정하여 모델화되어 있고, 전달 지연과 이득 $K_{\text{GTO}}$는 상수로서 다루어지고 있다 [181]. 여기서는, 근육 장력이 $F_{max}$가 될 때에, 출력이 $1{\text{nA}}$가 되도록 이득 $K_{\text{GTO}}$는 $0.01{\text{nA/N}}$으로 설정되어 있다.

다음으로, 근방추의 모델에 대해 설명한다 [178, 181]. 먼저 $x$의 근육 길이, $y$를 방추 속 근육 길이, $z$를 근방추의 센서 영역 길이라고 하면, 해부학적 제약에 의해 이하의 관계성이 성립한다.

• $x=y+z\qquad (3.13)$
• ${\dot {z}}={\dot {x}}-{\dot {y}}\qquad (3.14)$

근방추 출력 $r_{Ia}\ \mathrm {p/s}$는 이 $z$를 사용하여, 이하의 전달함수로 표현되는 다이나믹스를 통하는 것으로 얻을 수 있다.

${\frac {r_{Ia}(s)}{l_{sp}(s)}}=K_{\text{MS}}{\frac {(1+s/7.23)(1+s/74.07)}{(1+s/12.46)(1+s/123.28)(1+s/250)}}\qquad (3.15)$

여기서, $K_{\text{MS}}=3.2\times 10.5^{5}\mathrm {p/s/m}$의 상수로서 취급되어 있다. 근 길이 $x$는 시뮬레이션에서 직접 얻는 것이 가능하므로, Eq. (3.14)에 의해 ${\dot {y}}$가 얻어지면 수치적분에 의해 근방추의 센서 영역 길이 $z$가 얻어져서, Eq. (3.15)에 의해 근방추 출력을 얻는 것이 가능하다. 아래에서, ${\dot {y}}$를 얻는 방법을 설명한다.

방추 속 근육 길이 $y$의 미분 방정식은 다음과 같이 모델화 되어 있다.

• ${\dot {y}}=f_{\text{vi}}^{-1}{\Bigl (}{\frac {{\frac {K}{E}}\ z}{f(l)}}{\Bigr )}\qquad (3.16)$
• $f(l)={\begin{cases}0.0009197\mathrm {exp} (400l),&(l<0.0025)\\l&(l\geq 0.0025)\end{cases}}\qquad (3.17)$
• $l=x-z-c\qquad (3.18)$

여기서, $c$는 근방추의 느슨함이 시작되는 길이이며, $c=0.035\mathrm {m}$의 상수로서 취급되고 있다. 또한, $K$는 센서 영역의 강성(剛性), $E$는 수축 영역의 강성이다. 센서 영역의 방추 속 근육에 대한 강성 비율 $K/E$는, 근방추에의 입력 신호 $i\ \mathrm {p/s}$에 의존하고, 이하의 식에 의해 부여된다.

• ${\frac {K}{E_{0}(i)}}={\frac {99}{1+0.08i}}\qquad (3.19)$

거기에, 근육 길이의 속도가 양수일 때의 힘과 속도의 관계 $f_{\text{vi}}({\dot {y}})$는 다음의 형식으로 일반화 가능하다.

• $f_{\text{vi}}({\dot {y}})={\begin{cases}(1+C_{1}{\dot {y}})/(1+C_{2}{\dot {y}})&({\dot {y}}>0)\\(1+C_{3}{\dot {y}})/(1-C_{4}{\dot {y}})&({\dot {y}}<0)\end{cases}}\qquad (3.20)$

여기서, $C_{1}=85.5\mathrm {s/m}$, $C_{2}=22.7\mathrm {s/m}$, $C_{3}=1\mathrm {s/m}$, $C_{4}=62.8\mathrm {s/m}$의 상수 값으로서 모델화 되어 있다. $f_{\text{vi}}({\dot {(}}y))$의 역함수를 구하는 것은 용이하므로, 이상의 식에 의해 ${\dot {y}}$는 계산 가능하다.